RSA数学原理

1.引言

RSA算法是一种非对称加密技术，广泛应用于互联网和电子商务中。它依赖于一对密钥来进行加密和解密，分 别是公钥和私钥。使用公钥加密的信息只能通过私钥解密，而使用私钥加密的信息只能用公钥解密，并且在合理的时间内无法从公钥推算出私钥。这一特性使得加密通信无需交换私钥，从而确保了通信的安全性。那么，RSA算法是如何实现这一点的呢？其背后有哪些数学原理？本文将对此进行探讨。

我们将首先介绍RSA算法中涉及的数论概念和定理，包括模算术、最大公约数与贝祖定理、线性同余方程、中国余数定理以及费马小定理。随后，我们将深入分析RSA算法的原理，并证明其有效性。本文假设读者已具备基本的数论知识，如素数、最大公约数和互素等概念

2. 模算术

2.1 整数除法

我们用一个正整数去除一个整数, 可以得到一个商和一个余数. 形式化定义为:

定理 1 令 a 为整数, d 为正整数, 则存在唯一的整数 q 和 r, 满足,使得,使得.

当时,我们称 d 整除 a, 记作;否则称 d 不整除 a, 记作

整除有以下基本性质：

定理 2 令 a, b, c 为整数, 其中 .则:

• 如果 且, 则
• 如果 , 则对于所有整数 c 都有
• 如果 且,则

2.2 模算术

在数论中我们特别关心一个整数被一个正整数除时的余数. 我们用表示整数 a 除以正整数 m 的余数是 b. 为了表示两个整数被一个正整数除时的余数相同, 人们又提出了同余式(congruence).

定义 1 如果 a 和 b 是整数而 m 是正整数, 则当 m 整除 a - b 时称 a 模 m 同余 b. 记作

和很相似. 事实上, 如果 , 则.但他们本质上是两个

不同的概念. 表达的是一个函数, 而表达的是两个整数之间的关系.

模算术有下列性质:

定理 3 如果 m 是正整数, a, b 是整数, 则有

根据定理3, 可得以下推论

推论 1 设 m 是正整数, a, b, c 是整数; 如果, 则

推论 2 设 m 是正整数, a, b 是整数, c 是不能被 m 整除的整数; 如果 ,则

3. 最大公约数.

3.1 求最大公约数

3.2 贝祖定理

4. 线性同余方程

5. 中国余数定理

6. 费马小定理

7. RSA算法

8. 总结